Liên tục trong không gian tô pô Hàm liên tục

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

Định nghĩa

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x
U là lân cận của x trong X

Cho X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là hai không gian tô pô. Ánh xạ f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là liên tục tại điểm x {\displaystyle x} trong X {\displaystyle X} nếu mọi tập mở V {\displaystyle V} trong Y {\displaystyle Y} chứa f ( x ) {\displaystyle f(x)} thì có tập mở U {\displaystyle U} của X {\displaystyle X} chứa x {\displaystyle x} sao cho f ( U ) {\displaystyle f(U)} chứa trong V {\displaystyle V} . Ta nói f {\displaystyle f} liên tục trên X {\displaystyle X} nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X {\displaystyle X} .
Lân cận của điểm x ∈ X {\displaystyle x\in X} là tập con của X {\displaystyle X} chứa tập mở chứa x {\displaystyle x} . Lân cận không cần phải mở.
f {\displaystyle f} liên tục tại x {\displaystyle x} nếu mọi tập mở V {\displaystyle V} chứa f ( x ) {\displaystyle f(x)} thì tập f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} là lân cận của x {\displaystyle x} .[5]

Định lý

Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược [6] của tập mở là tập mở. Hay f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} liên tục khi và chỉ khi với mọi V {\displaystyle V} mở trong Y {\displaystyle Y} thì f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} mở trong X {\displaystyle X} .

Chứng minh( ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } ) Giả sử rằng f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là liên tục. Cho U {\displaystyle U} là tập mở trong Y {\displaystyle Y} . Cho x ∈ f − 1 ( U ) {\displaystyle x\in f^{-1}(U)} . Vì f {\displaystyle f} liên tục tại x {\displaystyle x} và U {\displaystyle U} là lân cận mở của f ( x ) {\displaystyle f(x)} thì có mở V x {\displaystyle V_{x}} chứa x {\displaystyle x} sao cho V x {\displaystyle V_{x}} chứa trong f − 1 ( U ) {\displaystyle f^{-1}(U)} . Do đó f − 1 ( U ) = ∪ x ∈ f − 1 ( U ) V x {\displaystyle f^{-1}(U)=\cup _{x\in f^{-1}(U)}V_{x}} là mở.( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } ) Giả sử rằng ảnh ngược của mọi tập mở là tập mở. Cho x ∈ X {\displaystyle x\in X} , U {\displaystyle U} là lân cận mở của f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Khi đó V = f − 1 ( U ) {\displaystyle V=f^{-1}(U)} là tập mở chứa x {\displaystyle x} , và f ( V ) {\displaystyle f(V)} chứa trong U {\displaystyle U} . Vì thế f {\displaystyle f} liên tục tại x {\displaystyle x} .

Một số tính chất và mệnh đề[7]

Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
Cho X {\displaystyle X} và Y {\displaystyle Y} là hai không gian tô pô và B {\displaystyle \mathbb {B} } là cơ sở của tô pô trên Y {\displaystyle Y} . Khi đó f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} liên tục nếu và chỉ nếu f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} là mở trong X {\displaystyle X} với mọi B ∈ B {\displaystyle B\in \mathbb {B} } .
Cho R {\displaystyle \mathbb {R} } với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức p : R → R {\displaystyle p\,:\,\mathbb {R} \,\rightarrow \,\mathbb {R} } với p ( x ) = a n x n + . . . + a 1 x + a + 0 {\displaystyle p(x)\,=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a+0} là liên tục.
Giả sử f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là liên tục. Nếu dãy ( x 1 , x 2 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,...)} trong X {\displaystyle X} hội tụ về x {\displaystyle x} khi đó dãy ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , . . . ) {\displaystyle (f(x_{1}),\,f(x_{2}),\,...)} trong Y {\displaystyle Y} hội tụ về f ( x ) {\displaystyle f(x)} .
Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} và g : Y → Z {\displaystyle g\,\,:\,Y\,\rightarrow \,Z} liên tục. Khi đó hàm hợp g ∘ f : X → Z {\displaystyle g\,\circ \,f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Z} là liên tục.
Cho X , Y {\displaystyle X,Y} là hai không gian tô pô, A {\displaystyle A} là không gian con của X {\displaystyle X} . Cho f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y} liên tục. Khi đó f | A : A → Y {\displaystyle f|_{A}\,:\,A\rightarrow Y} liên tục.

Liên tục trong không gian tô pô liên thông [7]

Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} liên tục, nếu X {\displaystyle X} liên thông thì f ( X ) {\displaystyle f(X)} liên thông.
Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} liên tục, nếu X {\displaystyle X} liên thông đường thì f ( X ) {\displaystyle f(X)} liên thông đường.
Cho X {\displaystyle X} là không gian tô pô liên thông, và f : X → R {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} } liên tục. Nếu p , q ∈ f ( X ) {\displaystyle p,\,q\in f(X)} và p ≤ r ≤ q {\displaystyle p\leq r\leq q} , khi đó r ∈ f ( X ) {\displaystyle r\in f(X)} . (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
Cho f : S 2 → R {\displaystyle f\,:\,S^{2}\rightarrow \mathbb {R} } liên tục, khi đó tồn tại c ∈ S 2 {\displaystyle c\in S^{2}} sao cho f ( c ) = f ( − c ) {\displaystyle f(c)=f(-c)} .

Liên tục trong không gian tô pô compact [7]

Cho f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} liên tục, nếu X {\displaystyle X} compact thì f ( X ) {\displaystyle f(X)} compact.
Cho X {\displaystyle X} compact và f : X → R {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow \mathbb {R} } là liên tục, khi đó f {\displaystyle f} có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên X {\displaystyle X} , hay tồn tại a , b ∈ X {\displaystyle a,\,b\in X} sao cho f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(x)\leq f(b)} với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} .
Cho [ a , b ] {\displaystyle [a,\,b]} là khoảng đóng và bị chặn trong R {\displaystyle \mathbb {R} } . Giả sử f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\,:\,[a,\,b]\rightarrow \mathbb {R} } là liên tục. Khi đó ảnh của f {\displaystyle f} là khoảng đóng và bị chặn trong R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Ví dụ 1: Tính liên tục của 3 ánh xạ f , g , h {\displaystyle f,g,h} đi từ không gian tô pô X {\displaystyle X} vào không gian tô pô Y {\displaystyle Y} Ví dụ 2: Ánh xạ liên tục trên cơ sở

Ví Dụ

Ví dụ 1: Cho X = { a , b , c , d } {\displaystyle X=\{a,b,c,d\}} và Y = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle Y=\{1,2,3\}} là 2 không gian tô pô được miêu tả ở hình bên, với f , g , h : X → Y {\displaystyle f,g,h\,:\,X\,\rightarrow Y} xác định: f ( a ) = 1 , f ( b ) = 1 , f ( c ) = 2 , f ( d ) = 2 {\displaystyle f(a)=1,\,f(b)=1,\,f(c)=2,\,f(d)=2} g ( a ) = 2 , g ( b ) = 2 , g ( c ) = 1 , g ( d ) = 3 {\displaystyle g(a)=2,\,g(b)=2,\,g(c)=1,\,g(d)=3} h ( a ) = 1 , h ( b ) = 2 , h ( c ) = 2 , h ( d ) = 3 {\displaystyle h(a)=1,\,h(b)=2,\,h(c)=2,\,h(d)=3} Có f , g {\displaystyle f,g} liên tục và h {\displaystyle h} không liên tục.Ví dụ 2: Xét ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} với a < b {\displaystyle a<b} và a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } , có B = { ( x , b ) | x ∈ ( a , b ) } {\displaystyle \mathbb {B} =\{(x,b)|x\in (a,b)\}} và B ′ = { ( a , y ) | y ∈ ( a , b ) } {\displaystyle \mathbb {B} ^{'}=\{(a,y)|y\in (a,b)\}} là hai cơ sở. Ánh xạ f : z → b − z + a {\displaystyle f\,:\,z\rightarrow b-z+a} với z ∈ ( a , x ) , x ∈ ( a , b ) {\displaystyle z\in (a,x),x\in (a,b)} biến mỗi phần tử trong B ′ {\displaystyle \mathbb {B} ^{'}} thành một phần tử trong B {\displaystyle \mathbb {B} } là ánh xạ ngược của ánh xạ g : z ′ → b − z ′ + a {\displaystyle g\,:\,z^{'}\rightarrow b-z^{'}+a} với z ′ ∈ ( x , b ) , x ∈ ( a , b ) {\displaystyle z^{'}\in (x,b),x\in (a,b)} Ánh xạ g {\displaystyle g} liên tục.

Xem thêm

Bổ đề dán (The Pasting Lemma)

Cho X {\displaystyle X} là không gian tô pô, A , B {\displaystyle A,B} là hai tập con đóng của X {\displaystyle X} sao cho A ∪ B = X {\displaystyle A\cup B=X} . Giả sử rẳng f : A → Y {\displaystyle f\,\,:\,A\,\rightarrow \,Y} và g : Y → Y {\displaystyle g\,\,:\,Y\,\rightarrow \,Y} là liên tục và f ( x ) = g ( x ) ∀ x ∈ A ∩ B {\displaystyle f(x)=g(x)\,\,\,\forall x\,\in \,A\cap B} . Khi đó h : X → Y {\displaystyle h\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} xác định bởi: h ( x ) = { f ( x ) , x ∈ A g ( x ) , x ∈ B {\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x),x\in A\\g(x),x\in B\end{cases}}}

thì h {\displaystyle h} liên tục trên X {\displaystyle X} .

Liên tục thông qua lưới

Cho X , Y {\displaystyle X,Y} là 2 không gian tô pô. Khi đó f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là liên tục tại x {\displaystyle x} nếu và chỉ nếu khi nào có lưới n {\displaystyle n} trong X {\displaystyle X} hội tụ về x {\displaystyle x} , thì lưới f ∘ n {\displaystyle f\circ n} hội tụ về f ( x ) {\displaystyle f(x)} .Viết theo ký hiệu quen thuộc: f {\displaystyle f} liên tục tại x {\displaystyle x} nếu và chỉ nếu với mọi lưới x i → x ⇒ f ( x i ) → f ( x ) {\displaystyle x_{i}\rightarrow x\,\Rightarrow f(x_{i})\,\rightarrow \,f(x)} .

Liên tục trên không gian tích

Cho f j : X j → Y j {\displaystyle f_{j}\,:\,X_{j}\rightarrow Y_{j}} , j ∈ J {\displaystyle j\in J} là tập chỉ số. Khi đó

∏ f j : ∏ X j → ∏ Y j {\displaystyle \prod f_{j}\,:\,\prod X_{j}\rightarrow \prod Y_{j}} là liên tục khi và chỉ khi f j : X j → Y j {\displaystyle f_{j}\,:\,X_{j}\rightarrow Y_{j}} liên tục với mọi j {\displaystyle j} thuộc J {\displaystyle J}

Ánh xạ chiếu π j : ∏ X j → X j {\displaystyle \pi _{j}\,:\,\prod X_{j}\rightarrow X_{j}} liên tục.
Ánh xạ f : Y → ∏ j ∈ J X j {\displaystyle f\,:\,Y\rightarrow \prod _{j\in J}X_{j}} liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần f j = π j ∘ f {\displaystyle f_{j}=\pi _{j}\circ f} liên tục.

Ví dụ

Cho hàm h : R → R {\displaystyle h\,:\,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } , cho bởi: h ( x ) = | x | = { x , x ≥ 0 − x , x ≤ 0 {\displaystyle h(x)=|x|={\begin{cases}x,x\geq 0\\-x,x\leq 0\end{cases}}}

Mở rộng

Tô pô sinh bởi ánh xạ

Cho ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\tau _{X})} là không gian tô pô, Y {\displaystyle Y} là một tập, và f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên Y {\displaystyle Y} sao cho f {\displaystyle f} liên tục.

Yêu cầu của τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} là nếu U ∈ τ Y {\displaystyle U\in \tau _{Y}} thì f − 1 ( U ) ∈ τ X {\displaystyle f^{-1}(U)\in \tau _{X}} Tôpô hiển nhiên (the trivial toplogy)[8] trên Y {\displaystyle Y} thỏa mãn yêu cầu này. Đây là tôpô thô nhất thỏa mãn yêu cầu làm f {\displaystyle f} liên tục.Mặt khác, họ { U ⊂ Y | f − 1 ( U ) ∈ τ X } {\displaystyle \{U\subset Y\,|\,\,f^{-1}(U)\in \tau _{X}\}} là tô pô thực sự trên Y {\displaystyle Y} . Đây là tôpô mịn nhất thỏa yêu cầu.

Cho X {\displaystyle X} là một tập, ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} là không gian tô pô, và f : X → Y {\displaystyle f\,\,:\,X\,\rightarrow \,Y} là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên X {\displaystyle X} sao cho f {\displaystyle f} liên tục.

Yêu cầu của τ X {\displaystyle \tau _{X}} là nếu U ∈ τ Y {\displaystyle U\in \tau _{Y}} thì f − 1 ( U ) ∈ τ X {\displaystyle f^{-1}(U)\in \tau _{X}} .Tôpô rời rạc trên X {\displaystyle X} là tôpô mịn nhất thỏa mãn yêu cầu.Ta có thể thấy xa hơn rằng nếu họ S Y {\displaystyle S_{Y}} sinh ra τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} thì τ X {\displaystyle \tau _{X}} được sinh bởi họ { f − 1 ( U ) | U ∈ S Y } {\displaystyle \{f^{-1}(U)\,|\,\,U\in S_{Y}\}} .

Đồng phôi

Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa tròn

Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là X ≈ Y {\displaystyle X\approx Y} , nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

Đồng luân

Ví dụ 3: Biến đổi đồng luân

Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f {\displaystyle f} và g {\displaystyle g} từ không gian tô pô X {\displaystyle X} vào không gian tô pô Y {\displaystyle Y} được định nghĩa là ánh xạ H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H:\,X\times [0,1]\rightarrow Y} từ tích của không gian X {\displaystyle X} với đoạn đơn vị [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} vào Y {\displaystyle Y} sao cho với mỗi x {\displaystyle x} thuộc X {\displaystyle X} ta có H ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle H(x,0)=f(x)} và H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle H(x,1)=g(x)} .
Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H {\displaystyle H} như là "thời gian", khi đó H {\displaystyle H} mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ f {\displaystyle f} thành ánh xạ g {\displaystyle g} : tại thời điểm 0 {\displaystyle 0} ta có ánh xạ f {\displaystyle f} và tại thời điểm 1 {\displaystyle 1} ta có ánh xạ g {\displaystyle g} .
Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ X {\displaystyle X} vào Y {\displaystyle Y} . Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu f 1 , g 1 : X → Y {\displaystyle f_{1},\,g_{1}\,:\,X\rightarrow Y} là đồng luân và f 2 , g 2 : Y → Z {\displaystyle f_{2},\,g_{2}\,:\,Y\rightarrow Z} là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng f 2 ∘ f 1 {\displaystyle f_{2}\circ f_{1}} và g 2 ∘ g 1 {\displaystyle g_{2}\circ g_{1}} : Y → Z {\displaystyle Y\rightarrow Z} là đồng luân

Ví dụ

Ví dụ 1: Cho f : ( R , τ ) → ( R , Euclid ) {\displaystyle f\,:\,(\mathbb {R} ,\tau )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\text{Euclid}})} là ánh xạ biến f : x → x 2 {\displaystyle f\,:\,x\rightarrow x^{2}} Ta thấy τ = { ( a , b ) | a , b ∈ R } {\displaystyle \tau =\{(a,b)|a,b\in \mathbb {R} \}} là tô pô mịn nhất sao cho f {\displaystyle f} liên tục.Ví dụ 2: Mặt phẳng đồng phôi với nửa mặt phẳng và đồng phôi với đĩa trònVí dụ 3: Một biến đổi đồng luân